يقدم لكم موقع إقرأ في هذا المقال بحث جامعي عن المصفوفات ، و تعريف المصفوفات ، و أنواع المصفوفات ، و خصائص المصفوفات ، و خصائص المصفوفات ، و أهمية المصفوفات ، و مميزات المصفوفات ، و عيوب المصفوفات ، و العمليات الحسابية على المصفوفات ، و محدد المصفوفة ، و معكوس المصفوفة ، تعتبر المصفوفة من الأساسيات الرياضية حيث تشمل الكثير من العمليات مثل الضرب، القسمة، الطرح والجمع وبعض العمليات الأخرى حيث تساعد في الكثير من الحلول للمعادلات التي تحتوي على أكثر من مجهول ولكن بشروط معينة وعن طريق طريقة الحل يمكن التوصل لقيم المجاهيل بأبسط الخطوات وللمصفوفة أنواع كثيرة جدا تعمل على تسهيل الحل.
بحث جامعي عن المصفوفات
بحث جامعي عن المصفوفات
نظرًا لأهمية البحث في المصفوفات ودراستها دراسة وافية لما يتعلق بها من التعريف بمفهومها العام وذكر أهم تطبيقاتها في الحياة اليومية، وأهم العمليات التي تجري عليها والكثير من الأمور الأخرى، فإنني في هذا البحث سوف أسلط الضوء على كل هذه الموضوعات بالتدريج من خلال تصنيفها ضمن أبواب تحتوي على شرح وافٍ مدعم بالأمثلة.
تعريف المصفوفات
بحث جامعي عن المصفوفات ، يمكن تعريف المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix) بأنها ترتيب معين للأعداد على شكل أعمدة وصفوف، وتُكتب المصفوفات عادة على شكل صندوق مربع أو مستطيل الشكل، ويُسمى الخط العمودي داخل المصفوفة بالعمود، أما الخط الأفقي فيُسمّى صفاً، ويمكن التعبير عن حجم المصفوفة من خلال عدد الصفوف، والأعمدة التي تحتويها كما يلي: حجم المصفوفة: عدد الصفوف×عدد الأعمدة؛ فمثلاً إذا كان عدد الصفوف في مصفوفة ما هو 2، وعدد الأعمدة هو 3، فإنه يتم التعبير عن حجمها كما يلي: 2×3، وتُعرف الصفوف، والأعمدة بأبعاد المصفوفة.
أنواع المصفوفات
هناك عدة أنواع للمصفوفات، وهي:
- المصفوفة المربعة (square matrix): هي التي يكون عدد الصفوف فيها مساوياً لعدد الأعمدة.
- مصفوفة الصف الواحد (Row matrix): هي المصفوفة التي تتكون من صف واحد فقط؛ مثل:
| أ ب جـ |
- مصفوفة العمود الواحد ( Column matrix): هي المصفوفة التي تتكون من عمود واحد فقط مثل:
| ب |
| جـ |
| ك |
- المصفوفة الصفرية (Zero matrix): هي المصفوفة التي تتكون من أصفار فقط؛ مثل:
| 0 0 |
| 0 0 |
- المصفوفة القُطرية (Diagonal matrix): هي مصفوفة مربعة تقع عناصرها فقط على طول القطر الممتد من الطرف العلوي الأيمن نحو الطرف السفلي الأيسر، أما باقي العناصر فهي عبارة عن أصفار؛ مثل:
| ك 0 0 |
| 0 ب 0 |
| 0 0 جـ |
- المصفوفة القياسية (Scalar matrix): وهي عبارة عن مصفوفة قطرية تتساوى جميع عناصرها الواقعة على القطر الممتد من الطرف العلوي الأيمن نحو الطرف السفلي الأيسر:
| أ 0 0 |
| 0 أ 0 |
| 0 0 أ |
- المصفوفة المثلثة العليا (Upper triangle matrix): هي مصفوفة مربعة تقع فيها جميع العناصر فوق القطر، أما جميع العناصر أسفله فتكون مساوية للصفر؛ مثل:
| أ ب جـ |
| 0 هـ ز |
| 0 0 ك |
- المصفوفة المثلثة السفلى (Lower triangle matrix): هي مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الواقعة فوق القطر مساوية للصفر؛ مثل:
| ك 0 0 |
| أ هـ 0 |
| ز ب جـ |
- مصفوفة الوحدة (Identity Matrix): وهي عبارة عن مصفوفة قطرية ومربعة لها نفس العدد من الصفوف والأعمدة، ويمكن لها أن تتكون من أي عدد ممكن من الصفوف والأعمدة؛ أي يمكن لحجمها أن يكون 2×2، 3×3، أو حتى 100×100، ويتكوّن القطر فيها من العدد واحد فقط، وهي تعتبر حالة خاصة من المصفوفات، لأن نتيجة ضربها في أية مصفوفة أخرى تُعطي المصفوفة الأخرى نفسها؛ فمثلأ عند ضرب هذه المصفوفة بالمصفوفة أ فإن النتيجة هي المصفوفة أ، ومن الأمثلة على مصفوفة الوحدة:
| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 |
خصائص المصفوفات
يُعرف كل ما يوجد داخل المصفوفة بعناصر المصفوفة سواء كانت أرقاماً، أو رموزاً، أو مقادير جبرية، وفيما يأتي أبرز خصائص المصفوفات:
- إذا كان عدد صفوف وأعمدة إحدى المصفوفات مساوياً لعدد صفوف وأعمدة مصفوفة أخرى فإن هاتين المصفوفتين تعتبران متساويتين في الحجم.
- يمكن تسمية المصفوفة بأي حرف من أحرف اللغة العربية، أما في اللغة الإنجليزية فيتم التعبير عنها باستخدم أحد الأحرف الكبيرة.
- ما داخل المصفوفة؛ أي العناصر فيتم التعبير عنها عن طريق كتابة الحرف الذي يُعبّر عن اسم المصفوفة، وكتابة رقم كل من الصف والعمود لذلك العنصر على الترتيب أسفل ذلك الحرف؛ أي اسم المصفوفة صف،عمود.
ولتوضيح خصائص المصفوفات إليك المثال الآتي للمصفوفة (ب):
| +6 +4 +24 |
| +1 – 9 + 8 |
- ب1،1: وتعني العنصر الذي يقع في الصف الأول، والعمود الأول، ويساوي 6
- ب3،1: وتعني العنصر الذي يقع في الصف الأول، والعمود الثالث، ويساوي 24
- ب3،2: وتعني العنصر الذي يقع في الصف الثاني، والعمود الثالث، ويساوي 8.
أهمية المصفوفات
بحث جامعي عن المصفوفات ،على الرغم من أن المصفوفات لها الكثير من الفائدة والتطبيقات في حياتنا إلا أن الفصول الدراسية لا تتناول سوى طرق حلها والعمليات التي تجرى عليها، لكن استخدامات المصفوفات في حياتنا كثير لهذا سوف أدرج بين هذا البحث عن الموصوفات مجموعة منها، وهي كما يأتي:
- التشفير: حيث يتم استخدام م المصفوفات في التشفير من أجل خلط البيانات لأغراض أمنية لتشفير هذه البيانات التي نحتاج إليها وفك تشفيرها، حيث إن هناك مفتاحاً يساعد في تشفير وفك تشفير البيانات التي يتم إنشاؤها بواسطة المصفوفات.
- الألعاب ثلاثية الأبعاد: تستخدم المصفوفات في الألعاب ثلاثية الأبعاد من أجل تغيير الكائن في مساحة ثلاثية الأبعاد؛ حيث يتم استخدام مصفوفة ثلاثية الأبعاد للمصفوفة ثنائية الأبعاد لتحويلها إلى كائنات مختلفة حسب المتطلبات.
- الاقتصاد والأعمال: تفيد المصفوفات في دراسة اتجاهات الأعمال والأسهم والأمور الأخرى مثل إنشاء نماذج أعمال وما إلى ذلك.
- البناء: على الرغم من أن معظم المباني مستقيمة إلا أنه في بعض الأحيان يحاول المهندسون المعماريون تغيير الهيكل الخارجي للمبنى كما هو الحال في برج خليفة الشهير، وذلك يمكن القيام به باستخدام المصفوفات، كما يمكن أن تساعد المصفوفات في دعم الهياكل التاريخية المختلفة.
- إضفاء الحيوية: يمكن أن تساعد المصفوفات في جعل الرسوم المتحركة أكثر دقة وكمالًا.
- الفيزياء: يتم تطبيق المصفوفات في دراسة الدوائر الكهربائية وميكانيكا الكم والبصريات، حيث يساعد في حساب مخرجات طاقة البطارية، وتحويل المقاومة للطاقة الكهربائية إلى طاقة أخرى مفيدة. كما تلعب المصفوفات دورًا رئيسيًا في العمليات الحسابية خاصة في حل المشكلات باستخدام قوانين كيرشوف للجهد والتيار، وأيضًا تساعد في دراسة فيزياء الكم واستخدامها.
- الجيولوجيا: حيث تستخدم المصفوفات لأخذ المسوحات الزلزالية.
مميزات المصفوفات
بحث جامعي عن المصفوفات ، المصفوفات هي عبارة عن ترتيب للبيانات على شكل مستطيل لمتغيرات أو أعداد في صفوف أفقية وأخرى عمودية محصورة داخل قوسين، وباعتبار أن المصفوفة واحدة من أكثر هياكل البيانات شيوعًا في لغات البرمجة المختلفة فإن لها مميزات وعيوب، وأهم ما يميز المصفوفة ما يأتي:
- تساعد المصفوفات في تحسين كتابة الكود؛ بحيث يمكننا تخزين عدد كبير من القيم في مصفوفة واحدة عن طريق كتابة جزء صغير من التعليمات البرمجية بدلاً من التصريح عن كل متغير على حدة.
- المصفوفات سهلة الاستخدام مثل العديد من الخوارزميات مثل تقنيات البحث والفرز، وإيجاد القيم القصوى والدنيا، ويمكن تنفيذ عمليات الانعكاس بسهولة باستخدام المصفوفات.
- التعقيد الزمني للوصول إلى أي عنصر من عناصر المصفوفة هو O (1)، أي أنه يستغرق قدرًا ثابتًا من الوقت للوصول إلى عنصر.
- تستخدم المصفوفات الفهارس لتحديد عناصرها، ويمكن استخدام هذه الفهارس التي تبدأ من “صفر” وتنتهي عند “طول المصفوفة – 1” للوصول إلى جميع عناصر المصفوفة.
- هناك مصفوفات ثنائية الأبعاد موجودة إلى جانب المصفوفات البسيطة تُستخدم لتخزين عناصر مصفوفة من أي أبعاد.
- المصفوفات تخزن العناصر في مواقع ذاكرة متجاورة، فلا يتم تخصيص ذاكرة إضافية خارج هذه الكتلة المجاورة، مما يمنع إهدار الذاكرة.
- المصفوفات أحد أبسط هياكل البيانات، فيمكن استخدامها لتنفيذ هياكل البيانات الأخرى مثل القوائم المرتبطة، والمكدسات، وقوائم الانتظار، والرسوم البيانية، والأشجار، وما إلى ذلك.
- يمكن استخدام المصفوفات لتنفيذ العديد من تقنيات جدولة وحدة المعالجة المركزية.
عيوب المصفوفات
عند كتابة بحث عن المصفوفات يجب ذكر عيوبها إلى جانب ميزاتها، وضمن نطاق استخدام المصفوفات في عمليات البرمجة على جهاز الحاسوب فيمكن القول أن هناك مجموعة من العيوب أو المحددات لهذه المصفوفات وهي كما يأتي:
- حجم المصفوفة ثابت، وبمجرد تخصيص الذاكرة لمصفوفة، لا يمكن زيادتها أو إنقاصها، وهذا يمنعنا من تخزين بيانات إضافية في حال أردنا ذلك، وتسمى هذه المصفوفات ذات الحجم الثابت بالمصفوفات الثابتة.
- يؤدي تخصيص ذاكرة أقل من المطلوب لمصفوفة إلى فقدان البيانات.
- لا يمكن لمصفوفة واحدة تخزين قيم لأنواع بيانات مختلفة، أي أن المصفوفة متجانسة بطبيعتها.
- من الصعب جدًا تنفيذ عمليات الحذف والإدراج في المصفوفات لأنها تخزن البيانات في مواقع ذاكرة متجاورة؛ لكن من أجل التغلب على هذه المشكلة، يتم تنفيذ القوائم المرتبطة التي توفر وصولاً عشوائيًا للعناصر.
قد يهمك:
العمليات الحسابية على المصفوفات
وفيما يأتي أبرز العمليات الحسابية على المصفوفات:
جمع وطرح المصفوفات
يجب عند جمع، أو طرح المصفوفات أن تكون متساوية في الحجم؛ أي يجب لعدد الصفوف، والأعمدة أن يكون متساوياً في كلا المصفوفتين.
مثال توضيحي: إذا كان عدد الصفوف في مصفوفة ما 3 صفوف، و 5 أعمدة، فإنه يمكن جمعها إلى مصفوفة أخرى فقط إذا كان عدد صفوفها أيضاً 3 صفوف، وعدد أعمدتها هو 5 أعمدة، وفي المقابل لا يمكن مثلاً جمعها إلى مصفوفة أخرى عدد الصفوف فيها 3 صفوف، وعدد أعمدتها هو 4 أعمدة، ويتم جمع المصفوفتين عن طريق جمع كل عنصرين متطابقين في الموقع بين المصفوفتين، وكذلك الأمر بالنسبة لعملية الطرح، والمثالان الآتيان يوضّحان ذلك:
- المثال الأول: ما هو ناتج جمع المصفوفتين الآتيتين؟
الحل:
- | +3 +8 | + | +4 صفر | = | +7 +8 |
- | +4 +6 | + | +1 − 9 | = | +5 – 3 |
- وذلك لأنّ: 3+4=7، 8+0=8، 4+1=5، و 6-9= -3.
- المثال الثاني: ما هو ناتج طرح المصفوفتين الآتيتين؟
الحل:
- | +3 +8 | – | +4 صفر | = | – 1 + 8 |
- | +4 +6 | – | +1 − 9 | = | +3 +15 |
- وذلك لأنّ: 3-4 = -1، 8-0 = 8، 4-1 = 3، 6-(-9) = 15؛ حيث يتم طرح العناصر التي توجد في نفس الموقع من بعضها.
ضرب المصفوفات
هناك نوعان من عملية ضرب المصفوفات، وهما:
الضرب القياسي
في الضرب القياسي (scalar multiplication) يتم ضرب عدد واحد في كل عنصر من عناصر المصفوفة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال توضيحي: ما هو ناتج ضرب العدد 2 في المصفوفة الآتية:
| 1 2 |
| 3 4 |
الحل: عند ضرب العدد 2 في المصفوفة السابقة فإنه يجب ضرب هذا العدد في كل عنصر من عناصرها لتنتج المصفوفة الآتية كحاصل لعملية الضرب هذه:
| 2 4 |
| 6 8 |
ضرب المصفوفات
ضرب المصفوفات (Matrix multiplication) هو النوع الثاني، وفيه يتم ضرب مصفوفتين ببعضهما البعض، ويمكن ضرب مصفوفتين ببعضهما فقط إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية، ليكون حجم المصفوفة الناتجة: عدد صفوف المصفوفة الأولى×عدد أعمدة المصفوفة الثانية، وفيما يلي مجموعة من الخطوات التي يجب اتباعها عند ضرب المصفوفات:
- التأكد من أن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
- ضرب كل عنصر من عناصر كل صف من صفوف المصفوفة الأولى في كل عنصر مقابل له من كل عمود من الأعمدة في المصفوفة الثانية على الترتيب.
- إضافة النواتج.
مثال توضيحي: ما هو ناتج ضرب المصفوفتين الآتيتين أ×ب؟
- المصفوفة أ:
| 1 0 -2 |
| 0 3 -1 |
- المصفوفة ب:
| 0 +3 |
| -2 -1 |
| 0 +4 |
الحل:
- أولاً يجب التحقّق من أن عدد الأعمدة في المصفوفة أ مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة ب.
- ضرب كل عنصر من عناصر كل صف من صفوف المصفوفة الأولى في كل عنصر من عناصر كل عمود من الأعمدة في المصفوفة الثانية.
| (1×0) + (0×-2) + (-2×0) (1×3) + (0×-1) + (-2×4) |
| (0×0) + (3×-2) + (-1×0) (0×3) + (3×-1) + (-1×4) |
- فتنتج المصفوفة الآتية:
| صفر -5 |
| – 6 – 7 |
ملاحظة: تعتبر عملية الضرب في علم الرياضيات عملية تبديلية؛ فمثلاً: 3×5 = 5×3، ولكن هذا لا ينطبق على المصفوفات؛ فمثلاً حاصل ضرب المصفوفتين أ×ب لا تساوي حاصل ضرب المصفوفتين ب×أ.
محدد المصفوفة
يُستخدم محدد المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix Determinant) في العديد من التطبيقات؛ مثل: حل نظام من المعادلات الخطية، وإيجاد معكوس المصفوفة، وغيرها من التطبيقات الأخرى في علم الرياضيات، ويتميز محدد المصفوفة بالعديد من المميزات، وهي:
- أنه عدد حقيقي.
- يمكن إيجاده فقط إذا كانت المصفوفة مربعة.
- يمكن إيجاد معكوس المصفوفة فقط إذا كانت محددها لا يساوي صفراً.
- يُستخدم للتعبير عن محدد المصفوفة نفس الرمز الذي يُستخدم للتعبير عن القيمة المطلقة؛ فمثلًا يرمز لمحدد المصفوفة أ بالرمز | أ |.
وتختلف طرق إيجاده باختلاف أبعادها؛ أي عدد الصفوف، والأعمدة، وفيما يلي توضيح لذلك:
إذا كانت أبعاد المصفوفة 2×2
أي مكوّنة من صفين، وعمودين؛ فيمكن إيجاده عن طريق تطبيق القاعدة الآتية: محدد المصفوفة= (القيمة العليا في اليمين×القيمة السفلى في اليسار) – (القيمة العليا في اليسار×القيمة السفلى في اليمين)؛ فمثلاً يمكن إيجاد محدد المصفوفة الآتية (أ) كما يلي:
| 2 6 |
| 1 3 |
محدد المصفوفة |أ| = (2×3) – (6×1) = 0.
إذا كانت أبعاد المصفوفة 3×3
أي أنّها تتكون من ثلاثة صفوف، وثلاثة أعمدة كما يلي:
| أ ب ث |
| د ج ي |
| ز ك ت |
يمكن إيجاد محدد المصفوفة باستخدام القانون الآتي: محدد المصفوفة = أ×(ج×ت-ك×ي) – ب×(د×ت-ز×ي) + ث×(د×ك-ز×ج)، وهذا القانون أساسه ضرب كل عنصر من العناصر الموجودة في الصف الذي تم اختياره، وهو هنا الصف الأول (أ ب جـ) على الترتيب بالمصفوفة ثنائية الأبعاد، التي يمكن الحصول عليها بعد استثناء العمود والصف الذي يوجد فيه العنصر الذي تم اختياره من الصف الأول، ولتوضيح ذلك يمكن إيجاد المحدد للمصفوفة الآتية كما يلي:
| +3 +2 +4 |
| – 5 +6 +3 |
| +4 +7 +2 |
بتطبيق القانون في الأعلى فإن المحدد = 3×(6×2 – 7×3) – 2×(-5×2 -3×4) + 4×(-5×7 – 6×4) = -219.
معكوس المصفوفة
يُمكن تعريف معكوس المصفوفة بأنها المصفوفة التي يكون حاصل ضربها في المصفوفة الأصلية هو مصفوفة الوحدة وهي المصفوفة التي تكون جميع عناصر قطرها هي العدد واحد أما باقي العناصر فهي أصفار، وتختلف طرق إيجاد معكوس المصفوفة باختلاف أبعادها؛ فمثلاً إذا كانت المصفوفة ثنائية الأبعاد (2×2) فإنه يمكن إيجاد معكوسها كما يلي:
- إيجاد المصفوفة المصاحبة: (بالإنجليزية: Adjugate Matrix) وذلك عن طريق عكس ترتيب العناصر في أحد الأقطار، وإيجاد القيمة السالبة للقطر الآخر كما يلي:
المصفوفة الأصلية:
| أ ب |
| ج د |
المصفوفة المصاحبة:
| د -ج |
| -ب أ |
- إيجاد محدد المصفوفة.
- حساب حاصل ضرب: (1/محدد المصفوفة)×المصفوفة المصاحبة؛ لينتج معكوس المصفوفة من ذلك؛ أي: معكوس المصفوفة = (1/محدد المصفوفة)×المصفوفة المصاحبة.
أما إذا كانت أبعاد المصفوفة (3×3) فأكثر فإنه يمكن إيجاد معكوسها بالطريقة التي سيتم توضيحها بالمثال الآتي:
- جد معكوس المصفوفة الآتية:
| 1 3 3 |
| 1 4 3 |
| 1 3 4 |
يمكن إيجاد المعكوس باستخدام الخطوات الآتية:
- كتابة مصفوفة الوحدة إلى جانب المصفوفة المراد إيجاد معكوسها.
| 1 3 3 | 1 0 0 |
| 1 4 3 | 0 1 0 |
| 1 3 4 | 0 0 1 |
- التفكير في الطريقة التي يمكن من خلالها تحويل المصفوفة الأصلية إلى مصفوفة الوحدة عن طريق إجراء مجموعة من العمليات، وذلك كما يلي:
- تحويل العنصر الثاني من العمود الأول إلى العدد صفر عن طريق: ضرب الصف الأول بالعدد -1، ثم جمعه للصف الثاني، ووضع النتيجة في الصف الثاني كما يلي:
| 1 3 3 | +1 0 0 |
| 0 1 0 | −1 1 0 |
| 1 3 4 | 0 0 +1 |
- تحويل العنصر الثالث من العمود الأول إلى العدد صفر عن طريق: ضرب الصف الأول بالعدد -1، ثم جمعه للصف الثالث، ووضع النتيجة في الصف الثالث كما يلي:
| 1 3 3 | +1 0 0 |
| 0 1 0 | −1 1 0 |
| 0 0 1 | −1 0 1 |
- تحويل العنصر الثاني من الصف الأول إلى العدد صفر عن طريق: ضرب الصف الثاني بالعدد -3، ثم جمعه للصف الأول، ووضع النتيجة في الصف الأول كما يلي:
| 1 0 3 | +4 −3 0 |
| 0 1 0 | −1 +1 0 |
| 0 0 1 | −1 0 +1 |
- تحويل العنصر الثالث من الصف الأول إلى العدد صفر عن طريق: ضرب الصف الثالث بالعدد -3، ثم جمعه للصف الأول، ووضع النتيجة في الصف الأول كما يلي:
| 1 0 0 | +7 -3 -3 |
| 0 1 0 | −1 +1 0 |
| 0 0 1 | −1 0 +1 |
- أي أن معكوس المصفوفة هو:
| +7 -3 -3 |
| −1 +1 0 |
| −1 0 +1 |
- يمكن التحقق من صحة الحل عن طريق ضرب هذه المصفوفة في المصفوقة الأصلية لتنتج مصفوفة الوحدة.